לוגיקה מתמטית הוא התחום במתמטיקה שחוקר בצורה מדויקת מושגים כמו טענה ו- הוכחה. על מנת לספק מוטיבציה, נתבונן בשתי דוגמאות היסטוריות.

לוגיקה מתמטית משה קמנסקי 1. מבוא לוגיקה מתמטית הוא התחום במתמטיקה שחוקר בצורה מדויקת מושגים כמו טענה ו- הוכחה. על מנת לספק מוטיבציה, נתבונן בשתי דוגמאות היסטוריות. 1.1. גאומטריית המישור. אוקלידס רצה לדעת את כל הדברים שנכונים עבור נקודות, קווים ומעגלים במישור. 1 על-מנת להבין זאת, אוקלידס ניסה לנסח רשימה קצרה של הנחות יסוד שנכונותן אינה מוטלת בספק, ולהוכיח מהן את כל יתר הטענות הנכונות. ארבעת הנחות היסוד הראשונות אכן פשוטות מאד: הראשונה, לדוגמא, אומרת שבין כל שתי נקודות קיים קו ישר אחד (את עבודתו של אוקלידס, האלמנטים, ניתן לקרוא עד היום, גם באינטרנט: [4]). אוקלידס הצליח להוכיח את עשרים ושמונה הטענות הראשונות שלו בעזרת ארבע הנחות בסיס אלה. 2 על מנת להוכיח טענות נוספות, הוא נזקק להנחת יסוד נוספת, שקולה לאקסיומת המקבילים: דרך נקודה הנמצאת מחוץ לישר נתון, עובר בדיוק ישר אחד מקביל לישר הנתון. הנחת יסוד זו פחות פשוטה ומובנת מאליה, ואוקלידס ניסה, אך לא הצליח, להוכיח אותה מארבע הנחות היסוד הראשונות. השאלה איך להוכיח את אקסיומת המקבילים נותרה פתוחה מאות שנים, עד שהוכח שהאקסיומה בלתי תלויה: לא ניתן להוכיח (או להפריך) אותה מיתר הנחות היסוד. נשים לב, שטענה זו אינה טענה גאומטרית: היא אינה עוסקת בנקודות או קווים, אלא בטענות מתמטיות (מבחינה גאומטרית, אנחנו יודעים שאקסיומת המקבילים תקפה במישור). הטענה שייכת לתחום של לוגיקה מתמטית, בו הטענה שאקסיומת המקבילים בלתי תלויה באקסיומות האחרות, היא עצמה טענה מתמטית. איך הוכחה הטענה? גאוס, לובאצ בסקי ובוליאי (ובעקבותיהם מתמטיקאים אחרים) בנו מודל של ארבע האקסיומות הראשונות של אוקלידס, כלומר מבנה עם קווים ו- נקודות, בו הקווים והנקודות מתנהגים כמו שמוכתב על ידי האקסיומות הראשונות, אולם בו אקסיומת המקבילים אינה מתקיימת. מודל זה בהכרח שונה מהמישור הרגיל, בו אקסיומת המקבילים תקפה, אבל הוא שווה זכויות לו: כל טענה שניתן להוכיח מארבע האקסיומות הראשונות, תקפה גם בו. למעשה, כל הוכחה מתוך אקסיומות אלה נותן טענה תקפה בכל המבנים המקיימים אותן. מה לגבי הכיוון ההפוך? נניח שיש לנו טענה בגאומטריה שנכונה בכל המודלים שסופקו על-ידי גאוס וחבריו, וגם בכל מודל אחר של ארבע האקסיומות הראשונות. האם ניתן אז להוכיח טענה זו מתוך אותן אקסיומות? לכאורה, אפשר לדמיין שהטענה נכונה במקרה בכל המבנים הללו, בלי שניתן להוכיח אותה. אנחנו נראה שזה לא כך: 1 ניתן לקרוא את הסיפור הזה יותר בהרחבה ב-[ 5 ] 2 למעשה, כפי שנראה, הוא השתמש בהנחות נוספות 1

2 משה קמנסקי משפט א (משפט השלמות, 3.8.14). כל טענה שנכונה בכל מבנה המקיים את האקסיומות של אוקלידס, ניתן להוכחה מאקסיומות אלה בניסוח המשפט (שאינו מנוסח בצורה מדויקת בשלב זה) לא הקפדנו לציין על איזו קבוצת אקסיומות מדובר. למעשה, זה לא משנה: המשפט תקף לכל קבוצת אקסיומות, ולא רק לגאומטריה. כאמור, משפט השלמות אינו משפט בגאומטריה. מהם האובייקטים המתמטיים המופיעים במשפט הזה? על-מנת שנוכל אפילו לנסח את המשפט, עלינו לענות לפחות על השאלות הבאות: שאלה 1.1.1. איך אפשר לראות טענות כאובייקטים מתמטיים? שאלה 1.1.2. מהי הוכחה של טענה אחת מטענות אחרות? שאלה 1.1.3. מהי משמעות האמירה שטענה מסוימת נכונה בגאומטריית המישור? באופן יותר כללי, מתי נאמר שטענה היא נכונה? מה הקשר בין זה לבין הוכחות של הטענה? שאלה 1.1.4. איך ניתן להוכיח שטענה מסוימת לא תלויה באחרות? בהינתן שהאקסיומה בלתי תלויה, התוספת שלה כהנחת יסוד מוצדקת. אבל האם יש טענות נוספות שאינן תלויות במערכת האקסיומות החדשה? האם אפשר לרשום רשימת אקסיומות המאפינות את המישור לחלוטין? תשובה אפשרית אחת לשאלה האחרונה נתונה במשפט הבא: משפט ב (משפט לוונהיים-סקולם, 3.7.12). לכל קבוצה אינסופית A קיים מבנה המקיים את כל הטענות המתקיימות בגאומטריית המישור, שבו קבוצת הנקודות היא A. שוב, גם משפט זה נכון למבנים כלליים, ולא רק לגאומטריה. 1.2. אריתמטיקה. ראינו לעיל שלא ניתן לאפיין לגמרי את גאומטריית המישור על ידי רשימה של אקסיומות. עדיין, אפשר לשאול האם לפחות אפשר להוכיח את כל מה שנכון בגאומטרייית המישור מתוך כל חמש האקסיומות של אוקלידס. מסתבר שלא, ולמעשה אפילו המשפט הראשון בספרו של אוקלידס דורש אקסיומות נוספות. אולם טארסקי, בתחילת המאה ה- 20 (בעקבות עבודה של קליין, הילברט, ומתמטיקאים נוספים) הצליח להשלים את הרשימה: הוא נתן רשימה מפורשת של אקסיומות, והוכיח שמהן ניתן להוכיח את כל הטענות הגאומטריות הנכונות במישור. תחום נוסף שבו עסקו היוונים הוא תורת המספרים. גם שם הניסיון הוא לגלות את כל הטענות הנכונות עבור המספרים הטבעיים. בניגוד לגאומטריה, הם לא ניסו לעבוד בשיטה האקסיומטית. שאלה 1.2.1. האם ניתן לראות גם טענות על מספרים כאובייקטים מתמטיים? מערכת אקסיומות עבור המספרים הטבעיים הוצעה על-ידי פיאנו. כמו בגאומטריה, גם כאן ניתן לשאול: שאלה 1.2.2. האם אקסיומות פיאנו מוכיחות את כל הטענות הנכונות על מספרים טבעיים? אם לא, האם קיימת מערכת אחרת שעושה זאת? אנחנו נראה:

לוגיקה מתמטית 3 משפט ג (משפט אי השלמות, 4.3.8). ישנן טענות בתורת המספרים שנכונות בטבעיים, אך אינן ניתנות להוכחה מאקסיומות פיאנו למעשה, המשפט אינו יחודי לאקסיומות פיאנו, ותקף לכל מערכת אקסיומות שניתנת לתיאור מפורש (במובן שנראה מאוחר יותר). 1.3. מבנים אחרים. שתי הדוגמאות האחרונות דנות בשני נושאים מרכזיים במתמטיקה: גאומטריה ותורת המספרים. אלה תחומים חשובים, אך אינם היחידים. שאלה 1.3.1. באילו מבנים ותורות מתמטיות ניתן לעסוק בשיטות הנ ל? אילו כלים קיימים על מנת לענות על שאלות מהסוג לעיל לתורות אחרות? אנחנו נראה מספר שימושים מפתיעים של טענות בלוגיקה לתחומים אחרים במתמטיקה, ביניהם: משפט ד (טענה 2.6.4). אם G גרף שכל תת-גרף (מלא) סופי שלו הוא k -צביע, אז G עצמו k -צביע משפט ה (דוגמא 3.6.17). אם F : C n C n העתקה פולינומית חד-חד-ערכית, אז היא על המשפט הבא הוא משפט קלאסי על פונקציות ממשיות, אולם אנחנו נראה הוכחה פשוטה שלו, בשפה קרובה (אך מדויקת לגמרי!) לניסוחים המקוריים של ניוטון ולייבניץ משפט ו (משפט ערך הביניים,.(3.6.23 אם f : [0, 1] R רציפה ומקיימת 0 f(0).f(c) עבורו = 0 c [0, 1] אז קיים,f(1) הרשימות מבוססות בין היתר על הספרים [3, 7]. 6, 2. תחשיב הפסוקים בסעיף זה נעסוק בסוג פשוט במיוחד של לוגיקה: תחשיב הפסוקים. לוגיקה זו לא מניחה דבר על המבנה של טענות בסיסיות, ובמקום זה עונה על שאלות הנוגעות לבניה של טענה מורכבת מתוך טענות יותר פשוטות על-ידי פעולות לוגיות. בהתאם לשאלות שהותוו במבוא, נראה את התשובות המדויקות שלוגיקה זו נותנת לשאלות: (1) מהי טענה? (2) מהי המשמעות של האמירה טענה זו נכונה? (3) מהי הוכחה? לאחר שנגדיר את כל המושגים, נראה שניתן לענות על כל השאלות מהמבוא עבור לוגיקה זו, ונראה גם כמה שימושים. 2.1. אלגברות בוליאניות. כאמור, בשלב זה אנו מתייחסים אל כל טענה כאל קופסה שחורה. אם a ו- b טענות כלשהן, אינטואיטיבית ניתן ליצור מהן את הטענות החדשות a וגם a b, או b ו- לא a. אנחנו מעוניינים למצוא מבנה פורמלי בו האינטואיציה הזו באה לידי ביטוי. במילים אחרות, על קבוצת הטענות B בהן אנו מתעניינים מוגדרות פעולות : B B B ( וגם ), : B B B ( או ) ו- B : B ( שלילה ). הואיל ובשלב זה אנו מתעניינים בתוכן של הטענה, ולא בצורת כתיבתה, למשל, הטענות a וגם

4 משה קמנסקי b ו- b וגם a הן מבחינתינו אותה טענה. באופן דומה, ניתן להצדיק את התנאים האחרים בהגדרה הבאה: הגדרה.2.1.1 אלגברה בוליאנית מורכבת מקבוצה,B איברים B 1 0, ופעולות : B B B ( וגם ), : B B B ו- B : B, המקיימים את התנאים הבאים לכל :a, b, c B (1) (חילופיות) a b = b a,a b = b a (2) (קיבוציות) a (b c) = (a b) c,a (b c) = (a b) c (3) (פילוג) c) a (b c) = (a b) (a c),a (b c) = (a b) (a a 1 = a,a 0 = a (4) a a = 1,a a = 0 (5) נסמן ב- 1, 0,,, B, B = את המבנה כולו אלגברה בוליאנית הערה 2.1.2. כתוצאה מחוקי הקיבוץ, אין צורך לרשום סוגריים כאשר מפעילים אותה פעולה ברצף, ואנחנו נרשום למשל a b c במקום.(a b) c כמו-כן, נפעל לפי מוסכמה ש- וגם קודם, מבחינת סדר הפעולות, ל- או, וכך נשמיט סוגריים נוספים (כלומר, נרשום a b c במקום.((a b) c בנוסף נשתמש לרוב בחילופיות בלי להזכיר זאת. דוגמא 2.1.3. אם B קבוצה בת איבר אחד, יש עליה מבנה יחיד של אלגברה בוליאנית (שימו לב שלא דרשנו ש- 1 0! תרגיל: הוכיחו שאם ב- B יותר מאיבר אחד, אז 1 0.) דוגמא 2.1.4. ישנה אלגברה בוליאנית יחידה בת שני איברים, {1,0} = B. מבחינה אינטואיטיבית, זוהי האלגברה של ערכי האמת, כאשר 1 מסמל אמת, ו- 0 שקר. נסמן אותה לרוב ב- 2. דוגמא.2.1.5 אם X קבוצה כלשהי, המבנה X,B = P(X),,,,, כאשר X} P(X) = {A A היא קבוצת החזקה, ו- A,A = X \ הוא אלגברה בוליאנית. אנחנו נקרא לאלגברות כאלה אלגברות חזקה. ניתן לזהות את שתי הדוגמאות הקודמות כמקרים פרטיים של הדוגמא הזו, כאשר X קבוצה ריקה או קבוצה בת איבר אחד. אלגברות חזקה תת-קבוצה קוסופית דרך אחת לחשוב על הדוגמא האחרונה היא לחשוב על איברי B כעל טענות על איברי B המקיימים את הטענה. תחת הפירוש הזה, הפעולות של X נזהה כל טענה עם איברי X: מזוהות עם האינטואיציה של וגם, או ושלילה (כלומר, אם C X קבוצת האיברים ב- X המקיימים טענה c, ו- D קבוצת האיברים המקיימים טענה d, אז C D היא קבוצת האיברים המקיימים את הטענה c וגם d ) דוגמא 2.1.6. אם X קבוצה כלשהי, תת-קבוצה קוסופית של X היא תת-קבוצה שהמשלימה שלה (ביחס ל- X ) סופית. הקבוצה B המורכבת מתתי הקבוצות של X שהן סופיות או קו-סופיות היא אלגברה בוליאנית (עם פעולות כמו קודם). דוגמא 2.1.7. אם [1,0] = X, קבוצת הממשיים בין 0 ל- 1, אז קבוצת תתי-הקבוצות של X שהן איחוד סופי של קטעים היא אלגברה בוליאנית (שוב, עם פעולות החיתוך והאיחוד). אנחנו נראה עוד דוגמאות רבות מהסוג הזה בהמשך.

לוגיקה מתמטית 5 האלגברה הדואלית דוגמא.2.1.8 אם 1, 0,,, B, B = אלגברה בוליאנית כלשהי, אז המבנה = B 0,,1,,,B גם הוא אלגברה בוליאנית, שנקראת האלגברה הדואלית. התרגיל הבא כולל כמה עובדות שימושיות על אלגברות בוליאניות: תרגיל 2.1.9. לכל אלגברה בוליאנית B, ולכל,a b B מתקיים: a 1 = 1,a 0 = 0 (1) a a = a (2) (3) אם a b = a b אז a = b (4) אם = 0 b a ו- 1 = b a אז b = a ( a) = a (5) (a b) = a b (6) a (a b) = a (7) הערה 2.1.10. בהנתן שוויון כלשהו בין שני ביטויים בוליאניים כמו בתרגיל, השוויון הדואלי הוא השוויון המתקבל מהמקורי על-ידי החלפת התפקידים של ו-, והחלפת התפקידים של 1 ו- 0. למשל, הדואלי של השוויון a) (b = a b הוא השוויון a). (b = a b אם השוויון המקורי נכון עבור איברים כלשהם של אלגברה B, אז השוויון הדואלי נכון עבור אותם איברים כאשר חושבים עליהם כאיברי האלגברה הדואלים B. לכן, אם שוויון כלשהו נכון לכל האלגברות הבוליאניות, אז גם הדואלי שלו נכון עבורן. אנחנו נשתמש בזה באופן חופשי. התרגיל הבא מציג דרך נוספת לחשוב על אלגברות בוליאניות, שלעתים מקלה על הוכחת תכונות כמו בתרגיל האחרון. תרגיל 2.1.11. תהי B אלגברה בוליאנית, ונגדיר לכל שני איברים,a b B ש- b a אם.a b = a (1) הוכח שזהו סדר חלקי על B, עם מקסימום 1 ומינימום 0. (2) הוכח שלכל שני איברים,a, b B המקסימום ביניהם ביחס ל- קיים ושווה ל- b a והמינימום שווה ל- b a (נזכיר שהמקסימום של קבוצה A בסדר חלקי הוא איבר m הגדול או שווה לכל איבר ב- A, וקטן מכל איבר אחר שמקיים זאת. מקסימום כזה, אם קיים, הוא יחיד) (3) נניח ש- P קבוצה סדורה כמו בסעיפים הקודמים, ונסמן ב- b a את המקסימום וב- b a את המינימום. נניח שלכל a P קיים b P כך ש- 0 = b a ו- a = 1,b ושלכל a, b, c P מתקיים: c).(a b) (a c) a (b הוכח ש- 1, 0,, P, אלגברה בוליאנית. (4) פתור שוב את תרגיל 2.1.9 בעזרת התרגיל הנוכחי נחזור למוטיבציה: אם אנחנו חושבים על איברי אלגברה בוליאנית B כטענות, איך לנסח את העובדה שבמצב נתון, כל טענה היא אמיתית או שיקרית? אנחנו רוצים להצמיד לכל טענה b B ערך אמת,v(b) שיכול להיות אמת או שקר. כלומר, אנחנו מדברים על פונקציות {1,0} B v, : אבל הפונקציות צריכות לקיים תנאים מסוימים: אם אמרנו שהטענות a ו- b שתיהן נכונות, אז כך גם a, b ואילו a שיקרית. במונחים של ההגדרה הבאה, אנחנו מתעניינים בהומומורפיזמים מ- B ל-{ 1,0} = 2. מקסימום

6 משה קמנסקי הגדרה 2.1.12. העתקה של אלגברות בוליאניות מאלגברה בוליאנית בוליאנית B 2 היא פונקציה v : B 1 B 2 המקיימת: B 1 לאלגברה העתקה של אלגברות בוליאניות v(a b) = v(a) v(b) (1) v( a) = v(a) (2) v(1) = 1 (3) הומומורפיזם שיכון איזומורפיזם השמה סוף הרצאה 23 1, באוק לכל,a. b B 1 (העתקה כזו נקראת גם הומומורפיזם של אלגברות בוליאניות) העתקה כזו נקראת שיכון אם היא חד-חד-ערכית, ואיזומורפיזם אם היא הפיכה. הערה.2.1.13 בגלל תרגיל,2.1.9 העתקה כזו מקיימת גם v(b) v(a b) = v(a) ו- = 0 (0)v. כמו-כן, היא שומרת על הסדר החלקי מתרגיל 2.1.11. נשים לב שלמרות הסימון הזהה, הפעולות בצד שמאל הן ב- B 1 ואלה שבצד ימין הן ב- B. 2 דוגמא 2.1.14. לכל אלגברה יש העתקה יחידה אל האלגברה בת איבר אחד. אם ב- B יש יותר מאיבר אחד, אין העתקה מהאלגברה בת איבר אחד ל- B. דוגמא 2.1.15. יש העתקה יחידה מ- 2 לכל אלגברה בוליאנית. העתקה מאלגברה B ל- 2 נקראת השמה. אלה העתקות שנתעניין בהן מאד בהמשך, שכן, כאמור, הן ממדלות את התהליך של בחירת ערכי אמת לטענות. דוגמא 2.1.16. אם P(X) B = היא אלגברת קבוצת החזקה, כל איבר x של X מגדיר השמה 2 B,v x : הנתונה על ידי: = 1 (A) v x אם,x A ו- 0 אחרת. אם חושבים על איברי B כטענות על איברי X, אז v x היא ההשמה ש בודקת האם הטענה נכונה עבור x. תרגיל.2.1.17 באופן יותר כללי, אם,C X הוכח שהפונקציה A A C היא הומומורפיזם מ-( P(X ל-( P(C. דוגמא 2.1.18. אם B אלגברה בוליאנית בת יותר מאיבר אחד, אז פונקציית הזהות אינה הומומורפיזם מ- B ל- B (למה?) מאידך, פונקציית השלילה היא איזומורפיזם מ- B ל- B. מי שניסה לפתור את תרגיל 2.1.9, גילה אולי שזה יותר קשה ממה שזה נראה. מצד שני, כל הטענות שם קלות מאד להוכחה עבור המקרה בו P(X) B = היא אלגברת החזקה של איזושהי קבוצה. נניח עכשיו ש- B אלגברה בוליאנית כלשהי, עבורה יש לנו שיכון B אז אפשר להוכיח את אחד השוויונים עבור X. עבור איזושהי קבוצה v : B P(X) באופן הבא: נניח שהשוויון אינו נכון עבור איזשהם איברים,a. b B אחרי שנפעיל את v נקבל, בגלל ש- v שיכון, שהשוויון אינו נכון עבור האיברים v(a) ו-( v(b ב-( P(X. אבל כבר הוכחנו שהשוויון נכון לכל זוג איברים בכל אלגברה מהצורה הזו. במילים אחרות, כל משוואה שנכונה לכל האיברים באלגברה B נכונה גם לכל האיברים באלגברה שמשוכנת בה (בהמשך תהיה לנו השפה לנסח את הטענה הזו באופן יותר מדויק ויותר כללי). הואיל ובדיקת שוויונים כאלה קלה מאד באלגברות חזקה, נשאלת השאלה: אילו אלגברות ניתנות לשיכון באלגברות חזקה? משפט 2.1.19 (משפט הייצוג של סטון). לכל אלגברה בוליאנית B קיימת קבוצה X ושיכון v : B P(X)

לוגיקה מתמטית 7 2.2. תחביר. בסעיף זה ניתן הגדרה מדויקת למושג טענה. על-מנת לא לבלבל בין המושג המתמטי לבין המושג המטא-מתמטי (זה שאנו משתמשים בו בשפה היומיומית כאשר עוסקים במתמטיקה), קוראים לטענות מהסוג הראשון (שאנחנו עומדים להגדיר) פסוקים. כאמור, ההגדרה תלויה בנתון של פסוקים בסיסיים. הגדרה 2.2.1. תהי P קבוצה לא ריקה כלשהי. קבוצת הפסוקים מעל P, המסומנת ב- ),F(P היא הקבוצה הקטנה ביותר S של מחרוזות המכילה את P ומקיימת את שני התנאים הבאים: (1) אם x S אז גם. x S (2) אם x, y S אז גם y. x פסוק מעל P הוא איבר ב-(.F(P הפסוקים מעל P F(P ) הערה 2.2.2. המונח מחרוזת לא הוגדר כאן במדויק. ההגדרה היא: מחרוזת מעל קבוצה A היא רצף סופי של איברים מ- A. הקבוצה A נקראת האלפבית. במקרה של ההגדרה, האלפבית הוא {,,, } P. בפרט, האורך של כל מחרוזת מוגדר היטב, ו- P היא בדיוק קבוצת המחרוזות שאורכן הוא 1 ב-(.F(P אינטואיטיבית, אנו חושבים על איברי P כעל טענות בסיסיות, שאמיתותן תלויה בגורמים חיצוניים ואינה נתונה לנו, וכלל הפסוקים הם טענות שניתן לבנות מהטענות הבסיסיות על ידי פעולות לוגיות: אם x פסוק, אז x מסמן את שלילת הטענה x, ואם y פסוק נוסף אז y x מסמל את הטענה x וגם y נכונות. אולם חשוב להדגיש שבשלב זה, הפירושים האלה הם ברמת האינטואיציה בלבד. בדוגמאות, ולמטרות אינטואיציה, נוח להגדיר את הקיצורים הבאים, שאינם חלק מההגדרה הרשמית (בסוגרים רשמתי את הפירוש האינטואיטיבי) ( y או x ) x הוא קיצור ל- y x y (1) ( y גורר את x ) x הוא קיצור ל- y x y (2) מן ההגדרה מקבלים שקיימות העתקות פסוק 2.1)( 2.2)( : F(P ) F(P ) (x) = x : F(P ) F(P ) F(P ) (x, y) = x y בשביל ההמשך נזדקק לטענה הבאה, שאומרת שהבניה של כל פסוק על ידי רצף הפעלות של פעולות אלה היא יחידה. טענה 2.2.3 (משפט הקריאה היחידה). ההעתקות ו- הן חד-חד-ערכיות, והתמונות שלהן זרות. תרגיל 2.2.4. הוכח את משפט הקריאה היחידה. רמז: הוכח קודם שרישא ממש של פסוק אינה פסוק (רישא (ממש) של מחרוזת היא סדרה התחלתית (ממש) של המחרוזת). מסקנה 2.2.5. הקבוצה ) F(P היא איחוד זר של P, התמונה של והתמונה של. הוכחה. העובדה שהאיחוד זר נובעת ממשפט הקריאה היחידה, ביחד עם העובדה ש- P היא קבוצת המחרוזות באורך 1 ב-(.F(P אם A היא האיחוד, אז היא תת-קבוצה של ) F(P המכילה את P וסגורה תחת ו-, ולכן שווה ל-(.F(P

8 משה קמנסקי תרגיל 2.2.6. הראה שאם בהגדרה של פסוק משמיטים את הסוגריים בתנאי השני, אז משפט הקריאה היחידה לא מתקיים 2.3. השמות וערכי אמת. לאחר שהגדרנו במדויק מהי טענה (כלומר פסוק), אנו שואלים איך אפשר לפרש פסוקים, ומה המשמעות של ההיגד טענה x היא נכונה? אינטואיטיבית, אפשר לדמיין שהפסוקים מייצגים טענות על העולם, אולם בתור לוגיקאים, אנו מתעניינים רק ביחס בין אמיתות הטענה לאמיתות הטענות המרכיבות אותה. לכן, מטרתנו היא להצמיד לכל פסוק ערך אמת בקבוצה {1,0} (כאשר 1 מייצג אמת, ו- 0 מייצג שקר), באופן שתואם את המשמעות שאנו מייחסים לפעולות הלוגיות: אם x פסוק, x מייצג את שלילת הטענה (המיוצגת על ידי) x, ואם y פסוק נוסף, אז y x מייצג את הטענה x וגם y. דיון זה מצדיק את ההגדרה הבאה: ו- 2.3)( הגדרה.2.3.1 העתקה 1} {0, ) F(P ω : המקיימת נקראית השמה או מבנה (מעל P). 2.4)( ω( x) = 1 ω(x) ω(x y) = ω(x) ω(y) השמה מבנה אינטואיטיבת ברור שניתן להסיק בצורה יחידה את ערך האמת של כל פסוק ברגע שהחלטנו מה הם ערכי האמת של הפסוקים הבסיסיים, וערכי האמת של הפסוקים הבסיסיים הם בלתי תלויים. המשפט הבא מהווה הכללה של רעיון זה. טענה 2.3.2. תהי S קבוצה הנתונה עם שתי פעולות: x x ו- y,x). (y x אז כל העתקה ω : P S ניתן להרחיב ביחידות ל-(,F(P כך שיתקיים 2.5)( 2.6)( ω( x) = ω(x) ω( x y ) = ω(x) ω(y) הוכחת היחידות. נניח ש- ω 1 ו- ω 2 הן שתי הרחבות המקיימות את התנאים. נתבונן בקבוצה 2.7)( A = {x F(P ) ω 1 (x) = ω 2 (x)} אנחנו נראה שהקבוצה A מקיימת את התנאים שבהגדרת ).F(P אם נצליח לעשות זאת, נקבל ש-( A, = F(P ולכן שתי ההרחבות מתלכדות. ראשית,,P A שכן ω i שתיהן מרחיבות את ω על.P עתה, אם,x A אז ω 1 ( x) = ω 1 (x) = ω 2 (x) = ω 2 ( x) ולכן. x A כמו כן, אם,x, y A אז ω 1 ( x y ) = ω 1 (x) ω 1 (y) = ω 2 (x) ω 2 (y) = ω 2 ( x y ) ולכן. x y A תרגיל 2.3.3. הוכח את ההכללה הבאה של טענת היחידות: נניח ש- ω i היא העתקה מקבוצה ) F(P X i המקיימת: (1) אם x X i אז x X i

לוגיקה מתמטית 9 (2) אם x y X i אז x, y X i נניח שכל ω i מקיימת את ההנחות של טענה 2.3.2 עבור איברי הקבוצה X. i הוכח ש-.x X 1 לכל X 2 ω 1 (x) = ω 2 (x) הוכחת 2.3.2, קיום. תהי J קבוצת כל ההעתקות v : X v S כאשר v ו- X v כמו בתרגיל,2.3.3 ותהי } v.w = {(x, v(x)) v J, v X אנו טוענים כי W היא הגרף של ההרחבה של ω, כנדרש. נתחיל מכך שנוכיח כי W גרף של העתקה מ-(.F(P תהי } יחיד y עבור 2.8)( A = {x F(P ) (x, y) W עלינו להראות ש-( A. = F(P ראשית, P, A משום ש- J w. אם A מוכלת ממש ב- x = y לפי מסקנה,2.2.5 אז הפסוק הקצר ביותר שאינו ב- A. x F(P ) יהי,F(P ) או z x = y (אך לא שניהם!) עבור y, z יחידים, ולפי ההנחה,.y, z A במקרה הראשון, קיימת v J המוגדרת על y. נרחיב את v ל- y x = על ידי הנוסחה = v(x).v(y) אז לפי היחידות, v המורחבת שייכת ל- J. לכן,x). v(x)) W יתר-על-כן, כל ההעתקות ב- J המוגדרות על x מקבלות את אותו ערך ב- x, לפי הגרסה הכללית של היחידות (תרגיל 2.3.3). לכן v(x) הוא הערך היחיד y עבורו,x). (y W קיבלנו ש- x, A בסתירה לבחירתו. המקרה השני דומה. כעת נחזור למטרתנו המקורית: אם {1,0} = S קבוצת ערכי האמת, הפעולות הלוגיקיות האינטואיטיביות של שלילה וגימום מתאימות לפעולות x 1 x וכפל, בהתאמה, על S. מסקנה 2.3.4. כל העתקה {1,0} P ω : ניתן להרחיב באופן יחיד להשמה מעל P (אותה נסמן גם כן ב- ω ). לשני פסוקים שונים יכולה להיות, אינטואיטיבית, אותה משמעות לוגית, למשל: q p ו- p q. כמו-כן, ישנם פסוקים שהם אמיתיים תמיד, כמו p p. מושג ההשמה מאפשר לנו לנסח זאת במדויק. הגדרה 2.3.5. יהיו x ו- y פסוקים מעל P..ω(x) = ω(y) מתקיים ω אם לכל השמה (x y) שקולים לוגית הם ו- y x (1) x y.ω לכל השמה ω(x) נקרא טאוטולוגיה אם = 1 x (2) (3) x נקרא סתירה אם = 0 ω(x) לכל השמה ω. אם x אינו סתירה, נאמר שהוא סתירה ספיק. אם = 1,ω(x) נאמר ש- ω מספקת את x, או ש- ω מודל של x. קבוצה Γ ספיק מודל של פסוקים היא ספיקה אם קיימת השמה המספקת את כל איברי Γ. (4) קבוצה Γ של פסוקים גוררת לוגית פסוק Γ) = (x x אם כל השמה המספקת את Γ מספקת גם את.x אם קבוצה של פסוקים, אז = Γ אם Γ = x לכל.x בפרט, x היא טאוטולוגיה אם ורק אם = x שתי הטענות הבאות נובעות ישירות מההגדרות. טענה 2.3.6. יהיו y x, ו- z פסוקים, ω השמה. סוף הרצאה 27 2, באוק שקולים לוגית טאוטולוגיה גוררת לוגית Γ = x

10 משה קמנסקי x y z x y z (1) x y y x (2) x x (3) x y z x y x z (4) Γ = x y אם ורק אם Γ, x = y (5) טענה 2.3.7. יהיו x ו- y פסוקים. (1) שקילות לוגית הוא יחס שקילות על קבוצת הפסוקים מעל P. (2) אם x שקול ל- y, ו- z פסוק כלשהו, אז x y ו- z. x z y (3) אם x y אז x טאוטולוגיה (או סתירה, או ספיק) אםם y הוא כזה. (4) אם x ו- y שניהם טאוטולוגיות או שניהם סתירות, אז x. y תרגיל 2.3.8. הוכח את שתי הטענות האחרונות ) B(P נסמן ב-( B(P את המנה של ) F(P ביחס לשקילות לוגית. לפי טענה 2.3.7, הפעולות ו- על ) F(P משרות פעולות על ),B(P אותן נסמן שוב ב- וב-. לפי אותה טענה, קיים איבר יחיד ) B(P 1 הכולל את כל הטאוטולוגיות, ואיבר יחיד ) B(P 0 הכולל את כל הסתירות (והם שונים). פעולות אלה יוצרות מבנה מעניין. הגדרה.2.3.9 אלגברה בוליאנית היא קבוצה B יחד עם פעולות : B B ו- : B :x, y, z B המקיימים לכל,1 B ואיבר B B x (y z) = (x y) z (1) x y = y x (2) ( (x)) = x (3) x 1 = x (4) x x = x (5) (x y = ( (x) (y)) שוב, אנו מסמנים (כאשר x (x) = 1 (6) x (y z) = x y x z (7) x (x y) = x (8) אלגברה בוליאנית דוגמא 2.3.10. אם X קבוצה, אז קבוצת החזקה שלה P(X) (קבוצת כל תתי-הקבוצות של (X היא אלגברה בוליאנית, כאשר לכל,A B = A B,A, B X ו- A = A c (המשלים של A ביחס ל- X ) תרגיל 2.3.11. בדוק את הטענה בדוגמא האחרונה. בטא את פעולות האלגברה הבוליאנית על P(X) כאשר מזהים כל תת-קבוצה A עם פונקציית המציין שלה 2 X χ A : (הנתונה על-ידי = 1 (x) χ A אם ורק אם.(x A דוגמא 2.3.12. באופן יותר כללי, אם B אלגברה בוליאנית, ו- X קבוצה כלשהי, אז לקבוצת ההעתקות מ- X ל- B יש מבנה של אלגברה בוליאנית, כאשר הפעולות נתונות בכל נקודה של X בנפרד: g(x) f g)(x) = f(x) ו-(( f(x ) ( f)(x) = דוגמא 2.3.13. אם X קבוצה כלשהי, תת-הקבוצה של P(X) המורכבת מקבוצות סופיות וקו-סופיות (כלומר, כאלה שהמשלימה שלהן סופית) היא תת-אלגברה בוליאנית

לוגיקה מתמטית 11 תרגיל 2.3.14. הוכח כי ) B(P עם הפעולות הלוגיות היא אלגברה בוליאנית. יתר על כן, היא האלגברה הבוליאנית החופשית על P: כל העתקה ω : P B מקבוצה P לאלגברה בוליאנית B ניתנת להרחבה יחידה להעתקה של אלגברות בוליאניות מ-( B(P (כלומר,.(ω(1) = ו- 1 ω(x y) = ω(x) ω(y),ω( (x)) = (ω(x)) spec(b) אפשר להרחיב את הרעיון של השמות לכל אלגברה בוליאנית B: אלה פשוט העתקות של אלגברות בוליאניות מ- B ל- 2, כלומר, העתקות 2 B ω : המקיימות = 1 (1)ω, ω(x) ω( x) = ו-( ω(y.ω(x y) = ω(x) נסמן ב-( spec(b את קבוצת ההשמות על B. תרגיל 2.3.15. אם ) F(P t פסוק מעל P, אז t מגדיר פונקציה F t על קבוצת ההשמות ((,spec(b(p הנתונה על-ידי ω(t) F t (ω) = (באופן יותר כללי, אותו תהליך מאפשר לראות איבר של אלגברה בוליאנית כללית B כפונקציה על.(spec(B) הוכח שאם P סופית, אז כל פונקציה מ-(( spec(b(p ל- 2 מתקבלת באופן זה (אפשר באינדוקציה על הגודל של P). הסק שב-( B(P יש P 2 2 איברים אם P סופית, ואינסוף איברים אחרת. בתרגיל האחרון, ראינו שכאשר P סופית, ) B(P איזומורפית לאלגברה בוליאנית מהצורה.P(X) האם זה נכון כאשר P אינסופית? באופן יותר כללי, האם כל אלגברה בוליאנית היא מהצורה P(X) עבור X כלשהו? נראה שהתשובה היא לא, אפילו על השאלה הראשונה, ואז נזכיר (בלי להוכיח) מה כן נכון. ננצל את ההזדמנות להזכיר עובדות בסיסיות על עוצמות. תזכורת על עוצמות. העצמה של קבוצה היא הכללה של מספר האיברים, במקרה שהקבוצה אינסופית. אנחנו לא נגדיר עוצמות, אלא רק השוואה בין עוצמות. הגדרה 2.3.16. יהיו A ו- B קבוצות. נאמר ש- A שוות עוצמה ל- B A ) = ( B אם קיימת העתקה חד-חד-ערכית ועל מ- A על B. נאמר שעצמת A קטנה או שווה לעצמת B ל- B. אם קיימת העתקה חד-חד-ערכית מ- A A ) ( B כאשר A סופית, היא שוות עצמה לקבוצה B אם ורק אם B סופית ויש בה אותו מספר איברים. לכן, שוויון עוצמות מכליל שוויון מספר האיברים בקבוצה. שתי שאלות עולות באופן טבעי מההגדרות לעיל. ראשית, למרות הניסוח, לא ברור מההגדרה האם B A ו- A B גוררים ש- B A. = העובדה הבאה מוכחת כאשר דנים בתורת הקבוצות האלמנטרית: שוות עוצמה עובדה 2.3.17 (משפט קנטור שרודר ברנשטיין). אם B A ו- A B אז. A = B עובדה זו שימושית מאד כאשר מוכיחים שוויון עוצמות, שכן במקרים רבים קל יותר למצוא העתקה חד-חד-ערכית בשני הכיוונים (נראה דוגמא בקרוב). השאלה השניה היא האם קיימות בכלל שתי קבוצות אינסופיות שאינן שוות עוצמה? המשפט הבא יוכח בהמשך, בתור מקרה פרטי של טענה כללית יותר עובדה 2.3.18 (משפט קנטור, 4.3.2). כל קבוצה X אינה שוות עוצמה לקבוצת החזקה שלה P(X)

12 משה קמנסקי בניגוד לכך, הקבוצה X של הסדרות הסופיות של איברים ב- X (כלומר, מחרוזות, או מילים, מעל X), כאשר X קבוצה אינסופית, שוות עוצמה ל- X. נראה זאת במקרה :X=N יהי p i הראשוני ה- i (כלומר, = 2 1,p 2 = 3,p וכו ). ההעתקה מ- N ל- p a 1+1 היא חד-חד-ערכית (לפי 1 p a k+1 k N שלוקחת סדרה ) k (a 1,..., a למכפלה יחידות הפירוק לראשוניים). לכן N N. הואיל וניתן לראות את N כתת-קבוצה של N (כמחרוזות באורך 1), קיבלנו בעזרת משפט קש ב שוויון עוצמות. עובדה נוספת שנזדקק לה היא בעצם אקסיומה: אקסיומה 2.3.19 (אקסיומת הבחירה). לכל העתקה p : A B בין קבוצות שהיא על קיים חתך, כלומר העתקה s : B A כך ש p s היא הזהות על B. נשוב כעת לאלגברות בוליאניות. אנו טוענים: טענה 2.3.20. האלגברה הבוליאנית B(N) אינה מהצורה,P(X) עבור שום קבוצה X. הוכחה. מספיק להוכיח ש-( B(N שוות עצמה ל- N, שכן לפי משפט קנטור, אז אינה שוות עצמה לקבוצת חזקה (ועל אחת כמה וכמה אינה איזומורפית לה כאלגברה בוליאנית). נשים לב ראשית ש-( F(N שוות עצמה ל- N, שכן היא מכילה את N ומוכלת ב- N (ולפי משפט קש ב). האלגברה B(N) היא מנה של,F(N) ולכן לפי אקסיומת הבחירה, עצמתה קטנה או שווה לעצמת.F(N) מאידך, לפי תרגיל 2.3.15, אלגברה זו היא אינסופית, ולכן 3 שוות עוצמה ל- N. נעיר, שניתן להוכיח טענה זו גם ללא שימוש בעצמות. למעשה, ניתן להוכיח טענה יותר כללית: טענה 2.3.21. האלגברה ) B(P איזומורפית לאלגברת חזקה אם ורק אם P סופית כיוון אחד של הטענה הוכח בתרגיל 2.3.15. הכיוון השני יוכח בתרגיל הבא. תרגיל 2.3.22. תהי B אלגברה בוליאנית. (1) עבור,a, b B נגדיר a b אם.a b = a הוכח ש- הוא יחס סדר (חלקי) על B, עם איבר גדול ביותר 1, ואיבר קטן היותר (1) = 0. כרגיל, נסמן a < b אם a b והם שונים. (2) איבר a של B נקרא אטום אם < a,0 ואין אף איבר b המקיים < b < a.0 הוכח שאם X אינה ריקה, אז ב-( P(X יש אטומים (3) הוכח שעבור ) B(P a, b מתקיים a b אם ורק אם.a = b הראה שאם P אינסופית, אז ב-( B(P אין אטומים, והסק את טענה 2.3.21. אטום בתרגיל 2.3.15 הגדרנו העתקה (של אלגברות בוליאניות) מ-( B(P (כאשר P סופית) ל-(((,P(spec(B(P שהתגלתה כחד-חד-ערכית ועל. למעשה, את ההעתקה ניתן להגדיר עבור כל אלגברה בוליאנית: לכל אלגברה בוליאנית B, נגדיר P(spec(B)) i : B על ידי ω(b) i(b)(ω) = (אנו מזהים כאן את P(X) עם אלגברת ההעתקות 2 X.(F : בהמשך נראה שהעתקה זו היא חד-חד-ערכית (זה נובע מגרסא של אקסיומת הבחירה; במקרה של ),B(P זו פשוט ההגדרה), אבל כמו שראינו, אינה על. האם ניתן לתאר את 3 פה יש עוד שימוש באקסיומת הבחירה

לוגיקה מתמטית 13 התמונה? את התיאור הבא לא נוכיח, אבל הוא קרוב מאד למשפט הקומפקטיות, אותו נוכיח בהמשך. נאמר שתת-קבוצה של spec(b) היא פתוחה אם היא איחוד של קבוצות מהצורה F 1 (0) היא רציפה אם גם ל- 2 מ-( spec(b F נאמר שהעתקה.b B עבור i(b) 1 (0) וגם המשלימה שלה פתוחות. נשים לב שישירות מההגדרה, i(b) רציפה לכל b. B מסתבר שזו בדיוק התמונה: משפט 2.3.23 (משפט הייצוג של סטון). ההעתקה i שהוגדרה לעיל היא איזומורפיזם של אלגברות בוליאניות: כל העתקה רציפה מ-( spec(b ל- 2 היא מהצורה i(b) עבור b B יחיד. סוף הרצאה 3, אוק 29 2.4. היסקים. ראינו שניתן להגדיר במדויק את המושגים טענה, ואמיתות של טענה. כעת נעבור למושג ההוכחה. ליתר דיוק, אנו רוצים להגדיר במדויק מהי הוכחה של פסוק x מתוך קבוצת פסוקים Γ. אינטואיטיבית, הוכחה של x מ- Γ היא תהליך בעל מספר סופי של שלבים, כאשר בכל אחד אנו מסיקים פסוק חדש מתוך פסוקים ב- Γ, או אקסיומות, או פסוקים שהוכחנו קודם. כל שלב כזה הוא מכני : הוא מאפשר לעבור לפסוק המוכח לפי מבנה הפסוק בלבד. בפרט, כל התהליך הוא בלתי תלוי באמיתות או בהשמות. על מנת למנוע בלבול, נשתמש במונח היסק עבור הוכחות במובן הטכני. כמו-כן, נוח יותר בהיקשר זה לעבוד עם הפעולה הלוגית של גרירה ( ) במקום גימום. אין כאן בעיה, שכן זהו פשוט קיצור. הגדרה 2.4.1. (1) מערכת האקסיומות הלוגיות הינה קבוצת כל הפסוקים בעלי אחת משלוש הצורות הבאות: x y x :A1 x y z x y x z :A2 x y x y x :A3 עבור פסוקים כלשהם,x.,y z (2) היסק של פסוק x מתוך קבוצת פסוקים Γ הינו סדרה סופית של פסוקים ) n,(x 1,..., x כאשר,x = x n וכל x i הוא אקסיומה לוגית, או איבר של,Γ או שקיימים j, k < i כך ש- x k = x j x i (במקרה זה אנו אומרים ש- x i התקבל מ- x j ו- x k על-ידי הפעלת כלל ההיסק.(Modus Ponens נאמר ש- x הוא מסקנה של Γ, או ש- Γ מסיקה את x, אם קיים היסק של x מתוך Γ. מצב זה יסומן כך: Γ. x (כמו קודם, אם Γ ריקה, נשמיט אותה מהסימון:.) x האקסיומות הלוגיות היסק כלל ההיסק Modus Ponens מסקנה מסיקה Γ x הטענה הבאה, שתשמש אותנו גם בהמשך, מדגימה שמציאת היסק, גם של פסוקים פשוטים, אינה בהכרח פשוטה. טענה.2.4.2 לכל פסוק t מתקיים t t.

14 משה קמנסקי הוכחה. נרשום במפורש היסק של t: t t 1 : t t t t A1[x : t, y : t t ] t 2 : t t t t t t t t t A2[x : t, y : t t, z : t] t 3 : t t t t t MP [t 1, t 2 ] t 4 : t t t A1[x : t, y : t] t 5 : t t MP [t 3, t 4 ] מערכת היסק נאותה הבחירה של מערכת האקסיומות וכלל ההיסק היא, במידה מסוימת, שרירותית, אולם מכל בחירה כזאת אנו מצפים למספר תכונות. הראשונה שבהן היא שזוהי מערכת היסק נאותה: אם הצלחנו להסיק פסוק מתוך Γ, אז הוא נובע לוגית מ- Γ, כלומר אפשר להוכיח רק דברים נכונים (התכונה השנייה שאנו מחפשים היא שלמות, בה נעסוק בקרוב). טענה.2.4.3 אם x מסקנה של,Γ אז.Γ = x תרגיל 2.4.4. (1) הוכח שכל אקסיומה היא טאוטולוגיה (2) הוכח שאם z התקבל מ- x ו- y על-ידי,MP אז,x. y = z (3) הוכח את טענה 2.4.3 2.4.5. אי תלות. הרעיון העיקרי בטענה האחרונה הוא שצעד ההיסק שומר על נכונות לוגית. אותו רעיון מאפשר לנו להראות שהאקסיומות שלנו הן בלתי-תלויות: אין אקסיומה שנובעת מהאקסיומות האחרות. תרגיל.2.4.6 תהי S קבוצה עם פעולה : S S S, ונניח ש- S a מקיימת: אם a x = a אז x. = a נסמן ב- 0 את היחס שמוגדר כמו, אבל כאשר קבוצת האקסיומות ריקה. הוכח שאם יש העתקה ω : F(P ) S המקיימת: ω(x y) = ω(x) ω(y) ω(x) = a, x Γ אז אם,Γ 0 x אז ω(x) = a לדוגמא, טענה 2.4.3 נובעת מתרגיל זה עבור השמות (כלומר, כש-{ 1,0} = S ו-.a = ו- 1,(x > y אם ורק אם x y=0 כדי להוכיח, למשל, ש- A1 אינה מסקנה של יתר האקסיומות, ניקח: {2,0},1 = S, = 0 a ו- 2 = y x אם x או y (או שניהם) שווים 1 או אם = 0 x ו- 2 =,y ו- 0 בשאר המקרים. אם נגדיר גם x x על S על-ידי: = 0 2 ו- 1 = x אחרת, אז כל העתקה מקבוצת הפסוקים הבסיסיים ניתנת להרחבה יחידה לכל הפסוקים כמו בטענה 2.3.2. קל לבדוק אז שכל השמה כזאת נותנת ערך 0 לכל האקסיומות ב- A3,A2, אבל אם = ω(x) 1 ו- 2 = ω(y) אז = 2 x ) ω(x y

לוגיקה מתמטית 15 2.4.7. משפט הדדוקציה. ראינו כבר שלרוב לא קל להראות שפסוק הוא מסקנה של קבוצת פסוקים. הטענה הבאה מקילה על המלאכה. היא מצדיקה את העובדה שכדי להוכיח טענה מהצורה x, y אפשר להניח את x ולהוכיח את y. טענה 2.4.8 (משפט הדדוקציה). אם Γ, x y אז y Γ x נשים לב שהכיוון השני גם נכון, באופן מיידי מ-.MP הוכחה. יהי ) n (y 1,..., y היסק של y = y n מתוך.Γ, x נוכיח, באינדוקציה על,k ש- k.γ x y נניח שהטענה נכונה לכל.i < k נתבונן באפשרויות: (1) k y אקסיומה, או איבר של Γ: במקרה זה נשתמש בכלל ההיסק על y k ועל המקרה x y k כדי להסיק את של A 1 y k x y k t אולם ראינו כבר ש- t,γ x במקרה זה עלינו להוכיח ש- x :y k = x (2) לכל פסוק t. (3) k y התקבל על-ידי MP מ- y i ו- y j = y i y k עבור :i, j < k במקרה זה נשתמש באקסיומה x y i y k x y i x y k (מהצורה A2), ובעובדה שניתן להסיק את x y j לפי הנחת האינדוקציה כדי להסיק בעזרת MP את k, x y i x y ואז שוב בהנחת האינדוקציה עבור i וב- MP כדי להסיק את.x y k מסקנה.2.4.9 (1) x x x x (2) x x y (3) x, y x y (4) x y y x (5) תרגיל 2.4.10. הוכח את המסקנה 2.5. משפטים מרכזיים. ראינו בטענה 2.4.3, שכל מה שניתן להוכיח באמצעות מערכת ההיסק הוא נכון. עכשיו נשאל לגבי הכיוון ההפוך: עד כמה מערכת ההיסק חזקה? מה הן הטענות שניתן להוכיח? כפי שראינו, השאלה אינה טריוויאלית: נדרשנו למאמץ אפילו כדי להוכיח את x x משפט 2.5.1 (משפט השלמות). אם Γ = x אז Γ x הוכחת משפט השלמות תתבצע בשני שלבים: ראשית, נוכיח אותו במקרה בו Γ סופית. בשלב הבא נשתמש במשפט הקומפקטיות כדי לעבור למקרה הכללי. נניח ש- x טאוטולוגיה. עלינו להראות שניתן להוכיח את x מתוך האקסיומות. הגישה שלנו תהיה להוכיח את x מתוך קבוצה מירבית של הנחות על ערכי האמת של הפסוקים הבסיסיים, ואחר-כך להראות שההנחות לא היו נחוצות. בהנתן פסוק X, נקבע ראשית קבוצה סופית P כך ש-( x. F(P עבור השמה ω (על קבוצה המכילה את P), נסמן סוף הרצאה 3 4, בנוב 2.9)( Γ ω = {y P ω(y) = 1} { y y P, ω(y) = 0}

16 משה קמנסקי נשים לב ש- ω היא ההשמה היחידה המספקת את Γ. ω לכן הלמה הבאה היא למעשה המקרה הפרטי של משפט השלמות עבור Γ. = Γ ω למה.2.5.2 לכל פסוק x מעל,P אם = 1 ω(x) אז,Γ ω x ואם = 0 ω(x) אז Γ ω x הוכחה. תהי A קבוצת הפסוקים x מעל P עבורם הטענה נכונה. אז P A שכן אז הפסוק שצריך להסיק נמצא ב- Γ. ω נניח ש- A.x אם = 1,ω( x) אז = 0,ω(x) ולכן.Γ ω x אם = 0,ω( x) אז.Γ ω x וביחד,x x,(1) לפי מסקנה 2.4.9 סעיף.Γ ω x ולכן ω(x) = 1 נניח ש- A,x, y וש- 1 = y ).ω( x אז = 0 ω(x) או = 1.ω(y) במקרה הראשון, Γ ω x והתוצאה נובעת מסעיף (3) של מסקנה,2.4.9 ובמקרה השני,Γ ω y והתוצאה נובעת מהאקסיומה הראשונה. באופן דומה, המקרה = 0 ( y ω( x נובע מסעיף (4) של 2.4.9. באינדוקציה, A היא קבוצת כל הפסוקים הטענה הבאה מראה שפסוקים שאינם משפיעים, סמנטית, על נביעה לוגית, הם גם מיותרים למטרות היסק. למה.2.5.3 נניח ש- y Γ, x וגם.Γ, x y אז.Γ y תרגיל 2.5.4. הוכח את הלמה הוכחת משפט השלמות ל- Γ סופית. באינדוקציה על הגודל של Γ. אם Γ, = Γ 0 x אז = 0 Γ.Γ y מקבלים,MP לפי.Γ 0 x y ולכן באינדוקציה x y נותר להוכיח את הבסיס: אם x טאוטולוגיה, אז. x תהי P קבוצת הפסוקים הבסיסיים ב- x. לפי למה,2.5.2 x Γ ω לכל השמה.ω אם P אינה ריקה, יהי,a P ותהי {a}.p a = P \ אם ω השמה כלשהי ל-,P a תהי Γ ω1 ו-= Γ ω0 = Γ w { a} אז.ω(a) = i המקיימת ω ההרחבה של,i עבור = 0, 1,ω i,p a על ω זה נכון לכל.Γ ω נקבל לפי למה 2.5.3,ש- x,γ ωi הואיל ו- x.γ w {a} ולכן חזרנו למצב שבו היינו עם P, אבל עבור קבוצה יותר קטנה P. a באינדוקציה, מקבלים ש- x Γ ω עבור השמה ω על קבוצה קטנה כרצוננו. עבור הקבוצה הריקה, זו הטענה שרצינו להוכיח. המקרה הכללי של משפט השלמות נובע מיד מהמקרה הסופי, ביחד עם משפט הקומפקטיות: משפט 2.5.5 (משפט הקומפקטיות). אם Γ = x אז קיימת Γ 0 Γ סופית, כך ש- x.γ 0 = תרגיל 2.5.6. השתמש במשפט הקומפקטיות כדי להסיק את משפט השלמות למקרה הכללי תרגיל 2.5.7. הסק את משפט הקומפקטיות מהמקרה הפרטי שבו x סתירה, כלומר: אם קבוצה Γ אינה ספיקה, אז יש תת-קבוצה סופית שלה אינה ספיקה. נראה שתי הוכחות של משפט הקומפקטיות. בשתיהן נשתמש בעובדה על קבוצות סדורות חלקית, עבורה נזכיר את ההגדרות הבאות: סדר חלקי הגדרה 2.5.8. (1) סדר חלקי על קבוצה X הוא יחס בין איברי הקבוצה, המקיים: (א) x y או y x לכל x, y X (ב) אם x y ו- z y אז x z

קבוצה סדורה חלקית שרשרת סדר מלא לוגיקה מתמטית 17 קבוצה סדורה חלקית הינה קבוצה עם יחס סדר חלקי. (2) שרשרת בקבוצה סדורה X הינה תת-קבוצה Y עליה הסדר מלא, כלומר לכל.y x או x y מתקיים,x y Y (3) תת-קבוצה Y X בקבוצה סדורה X היא חסומה מלעיל אם קיים x X כך ש- x y או y = x לכל.y Y (4) איבר מירבי ב- X הוא איבר x X עבורו לכל y X מתקיים.x y דוגמא 2.5.9. תהי S קבוצה, ו- X קבוצה של קבוצות המוכלות ב- S. אז X סדורה חלקית ביחס להכלת קבוצות: x y אם x. y תת-קבוצה Y של X חסומה מלעיל אם יש קבוצה y X המכילה את כל הקבוצות ב- Y. איבר מירבי הוא איבר שלא מוכל בשום קבוצה אחרת ב- X. לעיתים קרובות נעסוק בקבוצות מסוג זה, עם התכונה שהאיחוד של כל שרשרת של קבוצות ב- X, גם הוא קבוצה ב- X. במקרה זה, האיחוד הוא חסם מלעיל של השרשרת, ולכן כל שרשרת חסומה מלעיל. דוגמא 2.5.10. בתור מקרה פרטי של הדוגמא הקודמת, יהי S מרחב וקטורי (מעל שדה כלשהו), ותהי X קבוצת הקבוצות הבלתי תלויות לינארית ב- S. איחוד של שרשרת של קבוצות בלתי תלויות הוא קבוצה בלתי תלויה (שכן כל תלות לינארית היא בין מספר סופי של וקטורים, אשר שייכים לאחד האיברים בשרשרת). איבר מירבי ב- X, כלומר קבוצה בלתי תלויה מירבית, נקרא בסיס של S. עובדה 2.5.11 (הלמה של צורן). תהי X קבוצה סדורה חלקית, בה כל שרשרת חסומה מלעיל. אז קיים ב- X איבר מירבי תרגיל 2.5.12. הראה שמהלמה של צורן נובעת הגירסא היותר חזקה: עם אותן הנחות, לכל איבר קיים איבר מירבי הגדול ממנו תרגיל 2.5.13. הקבוצה הריקה הינה קבוצה סדורה חלקית (באופן יחיד). למה היא אינה מהווה סתירה ללמה של צורן? דוגמא 2.5.14. לפי דוגמא 2.5.10, לכל מרחב וקטורי יש בסיס כעת נחזור למשפט הקומפקטיות. נאמר שקבוצה Γ של פסוקים היא ספיקה סופית אם כל תת-קבוצה סופית שלה היא ספיקה. אז עלינו להוכיח שאם Γ ספיקה סופית, אז היא ספיקה. נאמר ש- Γ ספיקה סופית מירבית אם לא קיימת קבוצה ספיקה סופית (מעל אותם פסוקים בסיסיים) המכילה אותה. טענה 2.5.15. כל קבוצה ספיקה סופית מוכלת בקבוצה ספיקה סופית מירבית הוכחה. תהי X קבוצת הקבוצות הספיקות סופית, מסודרת על-ידי הכלה. לפי הלמה של צורן, מספיק להראות שלכל שרשרת יש חסם מלעיל. לפי דוגמא 2.5.9, מספיק להראות שאיחוד של שרשרת Γ α של קבוצות ספיקות סופית הוא קבוצה ספיקה סופית. אם Γ α היא קבוצה סופית של פסוקים, אז קיים α כך ש- Γ α. הואיל ו- Γ α ספיקה סופית, ספיקה. נשים לב שטענת משפט הקומפקטיות עבור Γ נובעת מאותה טענה עבור כל Γ ספיקה סופית המכילה אותה. לכן, לפי הטענה האחרונה, מספיק להוכיח את משפט הקומפקטיות עבור Γ ספיקה סופית מירבית. חסומה מלעיל איבר מירבי ספיקה סופית ספיקה סופית מירבית

18 משה קמנסקי למה 2.5.16. אם Γ ספיקה סופית מירבית, אז לכל פסוק x מתקיים x Γ או x. Γ כמו כן, x, y Γ אם ורק אם x y Γ הוכחה. אחרת, גם,Γ x וגם,Γ x אינן ספיקות סופית. לכן קיימת Γ 0 Γ סופית, כך שגם Γ 0, x וגם Γ 0, x אינן ספיקות. לכן גם Γ 0 אינה ספיקה. החלק השני נובע ישירות מכך ש-( ω(x)ω(y ω(x (y = לכל השמה הוכחת משפט הקומפקטיות. תהי Γ ספיקה סופית מירבית. נגדיר = 1 ω(x) אםם x. Γ אז לפי הלמה ω היא השמה, ולפי הגדרה היא מספקת את Γ. 2.6. שימושים של משפט הקומפקטיות. ראינו שמשפט הקומפקטיות מאפשר להסיק את משפט השלמות במקרה הכללי מהמקרה הסופי שלו. נראה עכשיו מקרים נוספים, שאינם בתחום הלוגיקה, בהם ניתן להשתמש במשפט זה באופן דומה. טענה 2.6.1. כל סדר חלקי על קבוצה X ניתן להרחבה לסדר מלא הוכחה. נוכיח ראשית למקרה ש- X סופית, באינדוקציה על גודלה. הטענה ברורה אם X ריקה. אחרת, יהי x איבר מירבי ב- X. אז באינדוקציה ניתן להרחבה לסדר מלא על y, Y לכל y x ידי הכלל על וקל לראות שאם מרחיבים סדר זה ל- x Y, = X \ {x} מתקבל סדר מלא על X המרחיב את הסדר המקורי. תהי עתה X קבוצה סדורה חלקית כלשהי, ונתבונן בקבוצת הפסוקים הבסיסיים P X = {p a,b a, b X} ובקבוצת הפסוקים Γ X מעליה המורכבת מכל הפסוקים הבאים: (1) הפסוקים p a,b לכל a b a X לכל p a,a (2) a, b, c X לכל p a,b p b,c p a,c (3) a b X לכל p a,b p b,a (4) נשים לב שהמידע של השמה ω המספקת את Γ X שקול למידע של סדר מלא על X המרחיב את, על ידי: a b אם ורק אם = 1 ) a,b.ω(p לכן, עלינו להוכיח ש- Γ X ספיקה, ולפי משפט הקומפקטיות, מספיק להוכיח שהיא ספיקה סופית. תהי Γ 0 Γ X קבוצה סופית. אז היא מערבת מספר סופי של פסוקים בסיסיים, ולכן גם תת-קבוצה סופית X 0 של איברי X. כלומר, Γ 0 Γ X0 ומספיק שנוכיח שיש השמה המספקת את Γ. X0 אך לפי האמור לעיל, השמה כזו נתונה על-ידי סדר מלא על X 0 המרחיב את על X. 0 סדר כזה קיים לפי המקרה הסופי גרף קבוצת הקודקודים קבוצת הקשתות S -צביע 2.6.2. צביעת גרפים. הדוגמא הבאה קשורה לתורת הגרפים. גרף הוא יחס דו-מקומי, סימטרי ואי-רפלקסיבי E על קבוצה V (כלומר, b) E(a, גורר a) E(b, לכל b a, נקראת קבוצת הקודקודים, ו- E V הקבוצה.(E(a, (a לא מתקיים a V ולכל V, קבוצת הקשתות. אם S קבוצה, הגרף (E,V) הוא S -צביע אם קיימת העתקה V c : S (צביעה של קודקודי הגרף) כך שאם (b E(a, אז c(b).c(a) אם k מספר טבעי, אנו מזהים אותו עם הקבוצה {1 k... 1}, ולכן המושג k -צביע מוגדר היטב. למשל, משפט ארבעת הצבעים ([1, 10]) קובע שכל גרף מישורי סופי הוא 4 -צביע (גרף מישורי הוא גרף שקודקודיו נקודות במישור, וקיימות העתקות רציפות γ a,b :,0] [1 R 2 לכל

לוגיקה מתמטית 19 תת-גרף מלא,(a, b) E כך ש- a γ a,b (1) = b,γ a,b (0) = ואם d} {a, b} = {c, אז 1)) ((0, a,b γ ו- 1)) ((0, c,d γ זרות). תת-גרף מלא (ממש) של הגרף E) (V, הוא הגרף )) 0,(V 0, E (V 0 V כאשר V 0 תת-קבוצה (ממש) של V. תרגיל 2.6.3. לכל k טבעי, מצא דוגמא לגרף שאינו k -צביע, אבל כל תת-גרף מלא ממש שלו הוא k -צביע טענה 2.6.4. יהי (E G =,V) גרף, k מספר טבעי. אז G הוא k -צביע אם ורק אם כל תת-גרף מלא סופי שלו הוא k -צביע הוכחה. כיוון אחד ברור. בכיוון השני, נתבונן בקבוצת הפסוקים Γ G a V לכל p 1,a p k,a (1) 1 i, j ו- k a V עבור p i,a p j,a (2).1 i ו- k (a, b) E לכל p i,a p i,b (3) אז השמה ω המספקת Γ G שקולה לצביעה חוקית של G ב- k צבעים (על ידי 1 i c(a) = אםם = 1 ) i,a.(ω(p לכן מספיק להראות ש- Γ G ספיקה. ההמשך כמו בדוגמא הקודמת תרגיל 2.6.5. הראה שאם מחליפים את k בקבוצה אינסופית בטענה האחרונה, הטענה אינה נכונה 2.6.6. משפט החתונה. נניח שנתונות קבוצות F ו- M של נשים וגברים, בהתאמה, ולכל אישה a F קבוצה סופית M a M של גברים שהיא מעוניינת בהם. האם ניתן לשדך לכל אישה גבר שהיא מעוניינת בו (כך שלכל גבר מותאמת רק אישה אחת)? במלים אחרות, האם קיימת פונקציה חד-חד-ערכית,p : F M כך ש-?p(a) M a תנאי הכרחי הוא שלכל קבוצה סופית F 0 F של נשים מתקיים 2.10)( F 0 a F 0 M a מסתבר, שזה גם תנאי מספיק. תרגיל 2.6.7. הוכח שאם התנאי (2.10) מתקיים לכל F 0 F סופית, אז קיים פתרון לבעיה הנתונה על ידי ה- M. a (הוכח ראשית את המקרה הסופי, ואז השתמש במשפט הקומפקטיות למקרה הכללי.) 2.6.8. הלמה של קניג. מסלול בגרף (E G =,V) מקדקוד a לקדקוד b הוא סדרה סופית של קדקודים x 1,..., x n שונים בזוגות, כך ש-,b = x n,a = x 1 ולכל,i < n x). i, x 1+i ) E האורך של מסלול כזה הוא 1 n. המרחק בין שני קדקודים הוא אורך המסלול הקצר ביותר ביניהם (אם קיים). השכנים של קודקוד a הם הקודקודים במרחק 1 ממנו. הגרף G נקרא עץ אם בין כל שני קודקודים קיים מסלול יחיד. טענה 2.6.9 (הלמה של קניג). אם G הוא עץ בו לכל קודקוד מספר סופי של שכנים, ולכל n קיים מסלול באורך n, אז קיים ב- G מסלול אינסופי (כלומר סדרה x i של קדקודים שונים בזוגות, לכל i טבעי, כך ש-( 1+i E(x i, x לכל i). סוף הרצאה 5 5, בנוב מסלול שכנים עץ

20 משה קמנסקי הערה 2.6.10. ההנחה שיש מסלולים בגודל לא חסום שקולה, תחת ההנחות האחרות, לכך שיש אינסוף קודקודים הוכחה. שוב, הרעיון הוא לבנות קבוצת פסוקים, שמודל שלהם נותן פתרון, כלומר מסלול אינסופי. נקבע קודקוד a, 0 ונסמן ב- S k את קבוצת האיברים במרחק k מ- a. 0 באינדוקציה, כל S k סופית. נתבונן בקבוצת הפסוקים הבאה: k לכל a S k p a (1) k לכל,a b S k לכל p a p b (2) ל- a a 0 נמצא על המסלול היחיד מ- b אם p a p b (3) אז מודל של קבוצה זו מכיל אותו מידע כמו מסלול אינסופי המתחיל ב- a. 0 תרגיל 2.6.11. השלם את ההוכחה תרגיל 2.6.12. נניח ש-{..., 1 P = p} בת-מניה. השתמש בלמה של קניג כדי להוכיח את משפט הקומפקטיות במקרה זה (רמז: הגדר גרף בו הקודקודים הם השמות חלקיות) 2.6.13. אלגברות בוליאניות. כשדיברנו על משפט סטון עבור אלגברות בוליאניות (משפט 2.3.23) הבטחנו שנראה שההעתקה מאלגברה בוליאנית B לאלגברת הפונקציות הרציפות על spec(b) היא חד-חד-ערכית. בחינה פשוטה של ההגדרות מראה שזה נובע מהטענה הבאה. טענה 2.6.14. אם b איבר שונה מ- 0 באלגברה בוליאנית, אז קיימת spec(b) ω עבורה ω(b) = 1 תרגיל 2.6.15. הוכח את הטענה עבור אלגברות בוליאניות סופיות (דרך אחת לעשות זאת היא להוכיח שכל אלגברה כזו איזומורפית ל-( P(A, כאשר A קבוצת האטומים באלגברה) נניח ש- B אלגברה בוליאנית, ו- b איבר שונה מ- 0. תהי {B P, = p} x x ונתבונן בקבוצה Γ המכילה את הפסוקים הבאים:.x, y B לכל p x y p x p y (1) x B לכל p x p x (2) p b (3) תרגיל 2.6.16. השתמש בקבוצה Γ כדי להוכיח את טענה 2.6.14 2.6.17. משפט רמזי. משפט רמזי שימושי מאד גם בלוגיקה וגם בענפים אחרים במתמטיקה. יש לו גרסא סופית וגרסא אינסופית, ובמקרה הזה נוכיח את הגרסא האינסופית ישירות, ונסיק ממנה את הגרסא הסופית בעזרת משפט הקומפקטיות. ) ( את X על מנת לנסח את המשפט, ננסח את ההגדרות הבאות: בהנתן קבוצה X, נסמן ב- k ( Y באופן טבעי כעל k) קבוצת תתי הקבוצות בגודל k ב- X. אם Y, X אפשר לחשוב על ( ) ( : c היא צביעה (כלומר, פשוט פונקציה), תת-קבוצה X k S אם. X ) תת-קבוצה של k ( Y הוא פונקציה k) תת-קבוצה מונוכרומטית מונוכרומטית של X היא תת-קבוצה Y X כך שהצמצום של c ל- קבועה (כלומר, כל הקבוצות שכל איבריהן ב- Y נצבעות באותו צבע). X כאשר f : ( X k ) משפט 2.6.18 (משפט רמזי, גרסא אינסופית). לכל צביעה S אינסופית ו- S סופית קיימת תת-קבוצה מונוכרומטית אינסופית

לוגיקה מתמטית 21 הוכחה. באינדוקציה על k, המקרים =,0 1 k ברורים. נניח שהטענה נכונה לאיזשהו k 1. נגדיר ברקורסיה סדרה X i של תתי-קבוצות של X, ו- x i של איברים של X. i תהי f i : ( X i \{x i על-ידי ) } k S נגדיר,xi ו- X i בהנתן.X איבר כלשהו של x 0 ו-,X 0 = X X i+1 באינדוקציה, קיימת תת-קבוצה מונוכרומטית אינסופית.f i (s) = f(s {x i }) X i עבור f. i נבחר את 1+i x להיות איבר כלשהו של 1+i X. נסמן ב- c i את הערך הקבוע. ( X i+1 ) של fi על k לפי המקרה = 1 k, קיימת קבוצה אינסופית J, N כך ש- c c j = לא תלוי ב- j עבור.j J נתבונן בקבוצה J}.Y = {x j j אם s Y היא בגודל + 1,k יהי j האינדקס הקטן ביותר עבורו x j s ותהי } j.s = s \ {x אז f(s) = f j (s ) = c j = c שכן s j+1 X ו- J.j לכן Y הקבוצה המונוכרומטית המבוקשת. מסקנה 2.6.19 (משפט רמזי, גרסא סופית). לכל 0 l,n,k קיים 0 m, כך שלכל.n יש קבוצה מונוכרומטית בגודל c : ( m k ) l הוכחה. לשם הפשטות, נוכיח את הטענה רק למקרה = 2 l k, = ההוכחה למקרה הכללי דומה. נקבע מספר טבעי n. לכל i < j טבעיים, יהי p i,j פסוק בסיסי, ולכל קבוצה I בגודל n של טבעיים, יהי x I הפסוק i,j I p i,j i,j p i,j. תהי Γ קבוצת הפסוקים I. ( N אם ω מודל של Γ, אז לפי הגרסא האינסופית של משפט רמזי, קיימת n) xi עבור קבוצה אינסופית Y N כך ש- ω קבועה על } Y.{p i,j i, j לכן ω אינה מספקת את.I Y לכל x I הראינו ש- Γ אינה ספיקה. לפי משפט הקומפקטיות, תת-קבוצה סופית Γ 0 Γ אינה ספיקה. לכן, לכל השמה ω לפסוקים הבסיסיים המופיעים ב- Γ, 0 יש I עבורו = 0 ) I,ω(x כלומר I קבוצה מונוכרומטית. סוף הרצאה 10 6, בנוב 2.7. על-מסננים ועל-מכפלות. בסעיף זה נראה הוכחה נוספת של משפט הקומפקטיות. היתרון שלה הוא שהיא מייצרת באופן (פחות או יותר) מפורש מודל של קבוצה Γ מתוך מודלים של תתי-קבוצות סופיות של Γ, ושהיא ניתנת להכללה ללוגיקה מסדר ראשון. איך ניתן לבנות מודל חדש מתוך מודלים קיימים? נניח שלכל α I נתונה השמה ω, α כולן על אותה קבוצת פסוקים בסיסיים P. אם ניצור את המכפלה הקרטזית של כולן, נקבל העתקה אחת ω אל הקבוצה 2, I אותה ניתן לזהות עם קבוצת תתי-הקבוצות של I (כלומר, ההעתקה 2 I s : מזוהה עם הקבוצה 1} = s(a).(s 1 (1) = {a I אינטואיטיבית, ω(x) היא קבוצת כל האינדקסים ב- I שחושבים ש- x נכונה. קל לבדוק ש- ω( x) = ω(x) c (המשלים של,(ω(x) וש-( ω(y.ω(x y) = ω(x) אנחנו מחפשים העתקה 2 I p : 2 שתהפוך את ω להשמה, כלומר, כך ש- ω ω p = p היא השמה. מהגדרת ההשמה, אנו מקבלים את התנאים הבאים: p(ω(x) c ) = p(ω( x)) = ω p ( x) = 1 ω p (x) = 1 p(ω(x)) p(ω(x) ω(y)) = p(ω(x y)) = ω p (x y) = = ω p (x)ω p (y) = p(ω(x))p(ω(y)) הואיל וההשמות היו כלשהן, עלינו לדרוש:

22 משה קמנסקי 2.11)( p(a c ) = 1 p(a) p(a B) = p(a)p(b) לכל,A. B I אם נסמן ב-( 1 ) 1 p F, = הרי שהמידע של p שקול למידע של F, והתנאים לעיל מביאים אותנו להגדרה הבאה. מסנן הגדרה 2.7.1. תהי I קבוצה. מסנן על I הוא קבוצה F לא ריקה של תת-קבוצות של I המקיימת: (1) אם x F ו- y x אז y F (2) אם x, y F אז x y F F (3) המסנן F הוא על מסנן אם לכל x 2 I מתקיים x F או x c F על מסנן ניתן לחשוב על מסנן כעל מושג של גודל עבור קבוצות ב- I : קבוצה x נמצאת ב- F אם היא גדולה. אז התנאים בהגדרה אומרים שחיתוך של שתי קבוצות גדולות הוא גדול, ושקבוצה המכילה קבוצה גדולה היא עצמה גדולה. על מנת לעבוד עם על-מסננים, נוח לפתור את התרגיל הבא. תרגיל 2.7.2. תהי I קבוצה לא ריקה (1) נניח ש- F מסנן על I. הוכח שהתנאים הבאים שקולים: (א) F הוא על-מסנן (ב) אם A B F עבור,A, B I אז A F או.B F (ג) F הוא מסנן מקסימלי (כלומר, לא מוכל ממש בשום מסנן) (2) הוכח שאם F קבוצה של תתי-קבוצות של I, סגורה תחת חיתוכים סופיים, אינה מכילה את, ולכל A, I לפחות אחת מ- A ו- A c ב- F, אז F על מסנן. דוגמא 2.7.3. אם I לא ריקה, אז {I} F = היא מסנן על I. זהו על-מסנן בדיוק אם ב- I יש רק איבר אחד. תרגיל 2.7.4. תהי I קבוצה (1) הראה שאם,α I אז A} F α = {A I α הוא על מסנן. על-מסנן כזה נקרא על מסנן ראשי. (2) תהי F 0 קבוצת הקבוצות A I כך ש- A c סופית (קבוצה כזאת נקראת קבוצה קו-סופית). הוכח שעל-מסנן הוא ראשי אם ורק אם אינו מכיל את F. 0 הסק שאם I סופית, אז כל על מסנן הוא ראשי. הראה שאם I אינסופית, אז F 0 מסנן. על מסנן ראשי קבוצה קו-סופית הדוגמאות הבאות (שחלקן תלויות בידע קודם) מראות שמסנן מייצג מושג של תת- קבוצה גדולה. דוגמא.2.7.5 אם I אינסופית, אז הקבוצה I } F = {A I A c < היא מסנן. באופן יותר כללי, אם κ עוצמה אינסופית קטנה או שווה ל- I, אז κ} F = {A I A c < מסנן

לוגיקה מתמטית 23 דוגמא 2.7.6. אם I מרחב וקטורי ממימד חיובי מעל שדה אינסופי, נגיד שתת-קבוצה היא סגורה אם היא איחוד סופי של תתי-מרחבים אפיניים של I (תת-מרחב אפיני הוא קבוצה מהצורה v + U כאשר v I ו- U תת-מרחב לינארי). אז היא מסנן (למה התנאים דרושים?) {סגורה ממש בתת-קבוצה מוכל F = {A I A c דוגמא 2.7.7. אם I = R (הממשיים) ו- I a, קבוצת הסביבות של a היא מסנן (סביבה של a היא קבוצה המכילה קטע פתוח המכיל את a.) דוגמא נוספת למסנן כאן היא = F {מלעיל חסומה A}. I A c דוגמא נוספת דורשת את ההגדרה הבאה: A I אינה צפופה בשום מקום אם לכל קטע פתוח J, הקבוצה J A אינה צפופה ב- J. אז קבוצת הקבוצות שהמשלימה שלהן אינה צפופה בשום מקום היא מסנן (את כל הדוגמאות הללו אפשר להכליל למרחב טופולוגי כלשהו). דוגמא 2.7.8. אם (µ,i) מרחב הסתברות (כלומר, מרחב מידה בו = 1,(µ(I) אז קבוצת הקבוצות המדידות שמידתן 1 היא מסנן. נחזור לעניינינו: כזכור, חיפשנו העתקה 2 I p : 2 עם תכונות דומות לתכונות של השמה. התרגיל הבא מראה על-מסננים שקולים באופן טבעי להעתקות כאלה. תרגיל 2.7.9. הוכח שאם 2 I p : 2 היא העתקה לא קבועה, אז p מקיימת את השוויונות (2.11) אם ורק אם (1) 1 p F = הוא על-מסנן. אם F על-מסנן, נסמן ב- 2 I p F : 2 את ההעתקה הנקבעת על-ידי F (כלומר, = 1 (x) p F אם ורק אם x). F ההגדרה הבאה, שמגדירה את המושג העיקרי בסעיף זה, מסכמת את הקשר בין על-מסננים להשמות. על-מכפלה הגדרה 2.7.10. יהיו ω, α עבור α, I השמות מעל קבוצה P, ויהי F על-מסנן על I. העל-מכפלה של ω α ביחס ל- F היא ההעתקה.ω F = p F ω יותר מפורשות, ω F היא ההעתקה המוגדרת על-ידי: ω F (x) = 1 {α ω α (x) = 1} F כלומר, ω F מספקת את הפסוק x אם ורק אם רוב ההשמות (ביחס ל- F ) מספקות אותו. תרגיל 2.7.11. הוכח ש- ω F מההגדרה היא השמה. הראה שאם F = F α העל-מסנן הראשי המתאים ל- α, אז.ω F = ω α נותרו מספר שאלות: אילו דוגמאות של על-מסננים יש? האם הם בכלל קיימים? בשביל מה צריכים לדבר על מסננים כלליים יותר? מה הרווחנו מכל הבניה הזו? ראינו כבר שעל מסננים ראשיים לא נותנים לנו משהו חדש, ושבמקרה של קבוצות סופיות, הם היחידים שקיימים. המצב שונה עבור קבוצות אינסופיות. טענה 2.7.12. כל מסנן על קבוצה I ניתן להרחבה לעל-מסנן ראינו שאם I אינסופית אז הקבוצה של הקבוצות הקו-סופיות היא מסנן. לכן ניתן להרחיב אותה לעל-מסנן, ולפי אותו תרגיל, כל על-מסנן כזה אינו ראשי.

24 משה קמנסקי הוכחה. לפי הלמה של צורן, מספיק להוכיח שאיחוד של שרשרת עולה של מסננים הוא מסנן. תהי F α שרשרת של מסננים, ונתבונן ב- F. = F α F α שכן זה נכון לכל, אינה ריקה, ו- F F (1) (2) אם,A F אז קיים α כך ש-.A F α לכן, אם,A B אז,B F α ולכן.B F (3) בדומה, אם,A, B F אז A F α ו- B F β עבור α, β כלשהם. הואיל וה-,A, B F β לכן.F α F β יוצרים שרשרת, אחד מהם מוכל בשני, למשל F γ ולכן גם.A B F β F לכן F חסם מלעיל של השרשרת, ולפי הלמה של צורן, קיים איבר מירבי. תרגיל 2.7.13. נניח ש- F קבוצה של תתי-קבוצות של קבוצה I המקיימת: לכל תת-קבוצה סופית F, 0 F החיתוך F 0 של איברי F 0 אינו ריק. הוכח ש- F מוכלת במסנן (ולכן גם בעל-מסנן). כעת נוכל לתת עוד הוכחה של משפט הקומפקטיות. על מנת להקל על הכתיבה, נניח שאם x y Γ אז גם x. y Γ אם Γ לא מקיימת הנחה זו, ניתן לסגור אותה תחת גימום, והקבוצה החדשה תהיה ספיקה סופית אם ורק אם המקורית הייתה. היתרון הוא שעכשיו ספיקות סופית אומרת שלכל פסוק (במקום קבוצה סופית) ב- Γ יש מודל. הרעיון בהוכחה הוא שאנחנו מייצרים על-מסנן הכולל את כל הקבוצות שאנחנו רוצים שיהיו בו, כלומר קבוצות מהצורה 1} = (x) {α ω α עבור.x Γ הוכחת משפט הקומפקטיות בעזרת על-מכפלות. נניח ש- Γ ספיקה סופית. כאמור, ניתן להניח ש- Γ סגורה תחת גימום. לכל x, Γ נתונה לנו השמה ω x כך ש- 1 = (x) ω. x נתבונן, כמו קודם, בהעתקה 2.12)( ω(x) = {y w y (x) = 1} 2 Γ אז לכל,x 1,..., x n Γ הקבוצה i) i ω(x אינה ריקה: קבוצה זו שווה ל- ω x1 x n שייך אליה. לפי תרגיל 2.7.13, ניתן להרחיב את הקבוצה ) n,ω(x 1 x ולכן Γ} {ω(x) x לעל-מסנן.F על-פי הגדרה, העל-מכפלה המתאימה ω F היא השמה המספקת את Γ. הערה 2.7.14. את המושגים של מסנן ועל-מסנן אפשר, בדיוק באותה צורה, להגדיר לכל אלגברה בוליאנית. בפרט, עבור האלגברה ),B(P התנאי שמופיע בתרגיל 2.7.13 הוא בדיוק ספיקות סופית; והתרגיל (שנכון באותה מידה בכל אלגברה בוליאנית) אומר ש- Γ ספיקה סופית אם ורק אם היא מוכלת בעל-מסנן. מאידך, על-מסנן במקרה זה הוא בדיוק תורה ספיקה סופית מקסימלית (השווה את טענה 2.5.15 ולמה 2.5.16 עם טענה 2.7.12 ותרגיל 2.7.2). לכן, הקשר בין ההוכחה האחרונה של משפט הקומפקטיות להוכחה הקודמת אפשר לראות כך: בהוכחה האחרונה העתקנו את המסנן Γ למסנן ב- 2 Γ באצמעות ω, ואז הגדלנו אותו לעל-מסנן. בהוכחה הקודמת, הגדלנו אותו לעל-מסנן ישירות בתוך ) B(P (ואז ויתרנו על המעבר דרך 2). Γ בהקשר של תחשיב היחסים, מושג המודל יהיה משמעותית יותר מסובך, ועל מנת לייצר מודל חדש יהיה נוח יותר לעבור דרך 2. Γ אחת הטענות המרכזיות שהשתשנו בהן (בשתי ההוכחות) היא העובדה שניתן להרחיב כל מסנן לעל-מסנן. בתרגיל הבא נראה שאפשר גם ללכת בכיוון ההפוך.

לוגיקה מתמטית 25 תרגיל 2.7.15. הוכח בעזרת משפט הקומפקטיות (ללא שימוש בלמה של צורן) שכל מסנן מוכל בעל-מסנן 3. תחשיב היחסים תחשיב הפסוקים עליו דובר בסעיף הקודם לא מאפשר יכולת ביטוי גדולה: לא ניתן לנסח בו טענות מתמטיות אמיתיות, אלא רק הפשטה שלהן שמסומנת על-ידי הפסוקים הבסיסיים. בסעיף זה נחקור לוגיקה בעלת יכולת ביטוי המאפשרת ניסוח טענות מתמטיות. לוגיקה זו מורכבת יותר בצורה משמעותית, אולם המבנה הכללי מבחינת ההגדרות והשאלות שנשאלות בה הוא דומה: נגדיר את התחביר, הסמנטיקה (השמות ומודלים), אקסיומות וכללי היסק, ונוכיח את משפט השלמות ומשפט הקומפקטיות המתאימים. 3.1. דוגמאות. הגדרת התחביר מורכבת ממספר מושגים: חתימה, שמות עצם, נוסחה, פסוק, ומושגים נוספים. בהמשך נגדיר השמות, מודלים וקבוצות גדירות. על מנת לתת מושג לאן אנחנו שואפים, נדגים את המושגים הללו בצורה לא פורמלית במספר דוגמאות. דוגמא 3.1.1 (יחס סדר). חתימה: בחתימה ישנו סוג אחד, P, וסימן יחס אחד E R P P נוסחה בסיסית: היא מהצורה (y E(x, או x = y נוסחה: למשל y) x(e(x, y) x = תורה: התורה שאומרת ש- E הוא יחס סדר היא: x, y E(x, y) E(y, x) x, y, z E(x, y) E(y, z) E(x, z) מודל: של התורה הוא קבוצה סדורה דוגמא 3.1.2 (גרף). בדוגמא זו כל רכיבי התחביר מוגדרים באותה צורה (שכן גם גרף נתון על-ידי יחס דו-מקומי), אבל התורה היא והמודלים הם גרפים x, y E(x, y) E(y, x) x E(x, x) דוגמא 3.1.3 (חוגים). חתימה: סוג אחד,,A וארבעה סימני פונקציה: a, m F AA,A ו- F ϵ,a 1 0, שמות עצם: שמות העצם הם ביטויים מהצורה (z,1)m (z,a(m(x,,(y (למשל) נוסחה בסיסית: x) a(m(x, x), y) = m(a(1, 1), נוסחה: לדוגמא 1) = y) x(m(x, תורה: התורה של החוגים מכילה למשל את הפסוקים הבאים: x, y(a(x, y) = a(y, x)) x(m(1, x) = x) x y(a(x, y) = 0) מודל: של התורה (המלאה של חוגים) הוא חוג.